information

Bangun Datar merupakan bangun dua dimensi. Satuan-satuan yang biasanya digunakan adalah :

Satuan Panjang: { kilometer (km), meter (m), centimeter (cm), dll } dan
Satuan Luas :{ kilometer persegi (km2), hektometer persegi (hm2/ hektar), meter persegi (m2), dll }.

Satuan Panjang biasa digunakan untuk panjang sisi-sisi bangun datar dan keliling bangun datar. Sedangkan Satuan Luas digunakan untuk luas bangun datar.

Jenis bangun datar bermacam-macam, antara lain persegi, persegi panjang, segitiga, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, dan lingkaran.

Nama-nama Bangun Datar

* Persegi
* Persegi Panjang
* Segitiga
* Jajar Genjang
* Trapesium
* Layang-layang
* Belah Ketupat
* Lingkaran

Rumus Bangun Datar

Rumus Persegi

Luas = Sisi (s)2
Keliling = Sisi (s) x 4

Rumus Persegi Panjang

Luas = Panjang (p) x Lebar (l)
Keliling = Panjang (p) x 2 + Lebar (l) x 2

Rumus Segitiga

Luas = ½ x Alas (a) x Tinggi (t)
Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A2 + B2 = C2)

Rumus Jajar Genjang

Luas = Alas (a) x Tinggi (t)

Rumus Trapesium

Luas = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi (t)

Rumus Layang-layang

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Belah Ketupat

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Lingkaran

Luas = π (pi) x jari-jari (r)2

Bangun Datar merupakan bangun dua dimensi. Satuan-satuan yang biasanya digunakan adalah :

Satuan Panjang: { kilometer (km), meter (m), centimeter (cm), dll } dan
Satuan Luas :{ kilometer persegi (km2), hektometer persegi (hm2/ hektar), meter persegi (m2), dll }.

Satuan Panjang biasa digunakan untuk panjang sisi-sisi bangun datar dan keliling bangun datar. Sedangkan Satuan Luas digunakan untuk luas bangun datar.

Jenis bangun datar bermacam-macam, antara lain persegi, persegi panjang, segitiga, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, dan lingkaran.

Nama-nama Bangun Datar

* Persegi
* Persegi Panjang
* Segitiga
* Jajar Genjang
* Trapesium
* Layang-layang
* Belah Ketupat
* Lingkaran

Rumus Bangun Datar

Rumus Persegi

Luas = Sisi (s)2
Keliling = Sisi (s) x 4

Rumus Persegi Panjang

Luas = Panjang (p) x Lebar (l)
Keliling = Panjang (p) x 2 + Lebar (l) x 2

Rumus Segitiga

Luas = ½ x Alas (a) x Tinggi (t)
Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A2 + B2 = C2)

Rumus Jajar Genjang

Luas = Alas (a) x Tinggi (t)

Rumus Trapesium

Luas = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi (t)

Rumus Layang-layang

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Belah Ketupat

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Lingkaran

Luas = π (pi) x jari-jari (r)2

Bangun Datar merupakan bangun dua dimensi. Satuan-satuan yang biasanya digunakan adalah :

Satuan Panjang: { kilometer (km), meter (m), centimeter (cm), dll } dan
Satuan Luas :{ kilometer persegi (km2), hektometer persegi (hm2/ hektar), meter persegi (m2), dll }.

Satuan Panjang biasa digunakan untuk panjang sisi-sisi bangun datar dan keliling bangun datar. Sedangkan Satuan Luas digunakan untuk luas bangun datar.

Jenis bangun datar bermacam-macam, antara lain persegi, persegi panjang, segitiga, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, dan lingkaran.

Nama-nama Bangun Datar

* Persegi
* Persegi Panjang
* Segitiga
* Jajar Genjang
* Trapesium
* Layang-layang
* Belah Ketupat
* Lingkaran

Rumus Bangun Datar

Rumus Persegi

Luas = Sisi (s)2
Keliling = Sisi (s) x 4

Rumus Persegi Panjang

Luas = Panjang (p) x Lebar (l)
Keliling = Panjang (p) x 2 + Lebar (l) x 2

Rumus Segitiga

Luas = ½ x Alas (a) x Tinggi (t)
Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A2 + B2 = C2)

Rumus Jajar Genjang

Luas = Alas (a) x Tinggi (t)

Rumus Trapesium

Luas = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi (t)

Rumus Layang-layang

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Belah Ketupat

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus LingkaranBangun Datar merupakan bangun dua dimensi. Satuan-satuan yang biasanya digunakan adalah :

Satuan Panjang: { kilometer (km), meter (m), centimeter (cm), dll } dan
Satuan Luas :{ kilometer persegi (km2), hektometer persegi (hm2/ hektar), meter persegi (m2), dll }.

Satuan Panjang biasa digunakan untuk panjang sisi-sisi bangun datar dan keliling bangun datar. Sedangkan Satuan Luas digunakan untuk luas bangun datar.

Jenis bangun datar bermacam-macam, antara lain persegi, persegi panjang, segitiga, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, dan lingkaran.

Nama-nama Bangun Datar

* Persegi
* Persegi Panjang
* Segitiga
* Jajar Genjang
* Trapesium
* Layang-layang
* Belah Ketupat
* Lingkaran

Rumus Bangun Datar

Rumus Persegi

Luas = Sisi (s)2
Keliling = Sisi (s) x 4

Rumus Persegi Panjang

Luas = Panjang (p) x Lebar (l)
Keliling = Panjang (p) x 2 + Lebar (l) x 2

Rumus Segitiga

Luas = ½ x Alas (a) x Tinggi (t)
Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A2 + B2 = C2)

Rumus Jajar Genjang

Luas = Alas (a) x Tinggi (t)

Rumus Trapesium

Luas = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi (t)

Rumus Layang-layang

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Belah Ketupat

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Lingkaran

Luas = π (pi) x jari-jari (r)2


Bangun Datar merupakan bangun dua dimensi. Satuan-satuan yang biasanya digunakan adalah :

Satuan Panjang: { kilometer (km), meter (m), centimeter (cm), dll } dan
Satuan Luas :{ kilometer persegi (km2), hektometer persegi (hm2/ hektar), meter persegi (m2), dll }.

Satuan Panjang biasa digunakan untuk panjang sisi-sisi bangun datar dan keliling bangun datar. Sedangkan Satuan Luas digunakan untuk luas bangun datar.

Jenis bangun datar bermacam-macam, antara lain persegi, persegi panjang, segitiga, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, dan lingkaran.

Nama-nama Bangun Datar

* Persegi
* Persegi Panjang
* Segitiga
* Jajar Genjang
* Trapesium
* Layang-layang
* Belah Ketupat
* Lingkaran

Rumus Bangun Datar

Rumus Persegi

Luas = Sisi (s)2
Keliling = Sisi (s) x 4

Rumus Persegi Panjang

Luas = Panjang (p) x Lebar (l)
Keliling = Panjang (p) x 2 + Lebar (l) x 2

Rumus Segitiga

Luas = ½ x Alas (a) x Tinggi (t)
Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A2 + B2 = C2)

Rumus Jajar Genjang

Luas = Alas (a) x Tinggi (t)

Rumus Trapesium

Luas = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi (t)

Rumus Layang-layang

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Belah Ketupat

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Lingkaran

Luas = π (pi) x jari-jari (r)2

Rumus substitusi biasanya sering kali ditemukan dalam pelajaran matematika. Rumus Substitusi ini terdapat dalam materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Contoh rumusnya adalah : 2x - 3y = 2, 5x + 2y = 24

Penyelesaian : 2x - 3y = 2, y = (2x - 2) : 3


[sunting] Rumus Eliminasi

Rumus ini juga termasuk rumus yang terdapat pada Sistem Persamaan Linear Dua Variabel atau lebih singkatnya disebut dengan sebutan SPLDV. Rumus matematika ini lebih gampang cara penyelesaiannya dibandingkan dengan rumus substitusi yang berada di atas, karena caranya lebih singkat dibandingkan dengan rumus substitusi yang lebih panjang lagi.

Penyelesaian

2x - 3y = 2 . 2

4x - 10y= -8 -

4x - 6y = 4

4x - 10y= -8 -

4y = 4

y= 1

Selain rumus substitusi dan rumus eliminasi dalam Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ini, ada juga rumus penyelesaian SPLDV yang lainnya, yaitu rumus grafika. Rumus grafika ini menggunakan himpunan penyelesaian dan memindahkan himpunan penyelesaian tersebut dalam sebuah grafik yang bernama diagram cartesius yang saat ini sering ditemukan dalam profit/bidang pekerjaan kantoran. Dalam memasukkan himpunan penyelesaian kepada diagram cartesius, angka pertama yang berada dalam himpunan penyelesaiannya harus dimasukkan dulu atau yang sering kita sebut absis (x) kemudian masukkan angka ordinat (y) ke diagram cartesius yang telah dibuat oleh penggaris.

Fungsi eksponensial
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.
Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.

Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada diatas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.

Secara umum, variabel x dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain; lihat definisi formal dibawah ini.
Daftar isi
[sembunyikan]

* 1 Sifat-sifat
* 2 Turunan dan persamaan diferensial
* 3 Definisi formal
* 4 Nilai numerik

[sunting] Sifat-sifat

Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat didefinisikan. Fungsi

\!\, a^x=e^{x \ln a}

yang terdefinisikan untuk a > 0, dan semua bilangan real x, disebut juga fungsi eksponensial dengan basis a.

Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula untuk a = e, karena

\!\, e^{x \ln e}=e^{x \cdot 1}=e^x.

Fungsi eksponensial dapat "menterjemahkan" antara dua macam operasi, penjumlahan dan pengkalian. Ini dapat dilihat dari rumus-rumus eksponen sebagai berikut:

\!\, a^0 = 1
\!\, a^1 = a
\!\, a^{x + y} = a^x a^y
\!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y
\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}
\!\, a^x b^x = (a b)^x

Rumus-rumus diatas berlaku untuk semua bilangan real positif a dan b dan semua bilangan real x dan y. Ekspresi yang mengandung pecahan dan pengakaran pada umumnya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:

{1 \over a} = a^{-1}

dan, untuk semua a > 0, bilangan real b, dan bilangan bulat n > 1:

\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}

[sunting] Turunan dan persamaan diferensial

Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat turunannya.

{d \over dx} e^x = e^x

Dengan kata lain, fungsi ex jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat "ketidakmempanan untuk diturunkan" ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:

* Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
* Bertambahnya nilai fungsi pada x sama dengan nilai fungsi pada x
* Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial y' = y.

Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara lain persamaan Schrödinger, persamaan Laplace, dan persamaan untuk gerakan harmonis sederhana.

Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang bukan e):

{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x

jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

[sunting] Definisi formal

Fungsi eksponensial ex dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai deret tak terhingga. Beberapa definisi tersebut antara lain:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

atau sebagai limit berikut ini:

e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.

Dalam definisi diatas, n! adalah faktorial dari n, dan x dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks, ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar.

[sunting] Nilai numerik

Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga diatas dapat ditulis menjadi:

e^x = {1 \over 0!} + x \, \left( {1 \over 1!} + x \, \left( {1 \over 2!} + x \, \left( {1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)
= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)

Jika x lebih kecil dari 1, maka ekspresi diatas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.

Logaritma
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda. merah adalah terhadap basis e, hijau adalah terhadap basis 10, dan ungu adalah terhadap basis 1.7. Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik (1,0)

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:

bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)

Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.
Daftar isi
[sembunyikan]

* 1 Basis
* 2 Notasi
* 3 Mencari nilai logaritma
* 4 Rumus
* 5 Kegunaan logaritma
o 5.1 Sains dan teknik
o 5.2 Penghitungan yang lebih mudah
o 5.3 Kalkulus
* 6 Penghitungan nilai logaritma
* 7 Lihat pula

[sunting] Basis

Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10, e≈ 2.71828... dan 2.

[sunting] Notasi

* Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi blog a daripada logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi logba
* Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti 10log a dan ld a sebagai ganti 2log a.
* Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
* Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
* Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.

[sunting] Mencari nilai logaritma

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:

* Tabel
* Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

[sunting] Rumus

* xlog x = 1
* x^nlog xm = m/n
* blog x + blog y = blog (x.y)
* blog x - blog y = blog (x:y)
* (alog b)(blog c) = alog c
* b log xn = n.blog x
* b log x = klog x : klog b

[sunting] Kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

[sunting] Sains dan teknik

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

* Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

* Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

* Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

* Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

[sunting] Penghitungan yang lebih mudah

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angka Penghitungan dengan eksponen Identitas Logaritma
\!\, a b \!\, A + B \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)
\!\frac{a}{b} \!\, A - B \!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)
\!\, a ^ b \!\, A b \!\, \log(a ^ b) = b \log(a)
\!\, \sqrt[b]{a} \!\, \frac{A}{b} \!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b}

Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

[sunting] Kalkulus

Turunan fungsi logaritma adalah

\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}

dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus diatas dapat disederhanakan menjadi

\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.

Integral fungsi garitma adalah

\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C

Integral logaritma berbasis e adalah

\int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\,

[sunting] Penghitungan nilai logaritma

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

\log_b(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(b)} \qquad \mbox{ or } \qquad \log_b(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(b)}

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.